Dinamica
Secondo principio della dinamica
La seconda legge della dinamica detta anche seconda legge di Newton è definita come
\[\vec F = m \vec a = m\frac{d\vec v}{dt} = m \frac {d^2 \vec r}{dt^2}\]- Questa è una legge vettoriale che significa che essa equivale a tre equazioni relative ai tre moti proiettati sugli assi cartesiani
- Questa legge è un equazione differenziale tra $\vec F$ e $\vec v$ o tra $\vec F$ e $\vec r$
- Questa legge vale sono se il moto è studiato all’interno di un sistema di riferimento inerziale e la velocità del moto è molto minore rispetto a quella della luce $c = 3\cdot 10^8 \frac ms$
L’unità di misura è il newton:
\[[N] = \bigg[kg\frac m{s^2} \bigg]\]L’interazione del punto con l’ambiente circostante, espresso tramite la forza $\vec F$, determina l’accelerazione del punto, ovvero la variazione della sua velocità nel tempo, secondo un fattore di proporzionalità $m$ che è la massa inerziale del corpo.
Si dice massa inerziale perché esprime l’inerzia del corpo, cioè la sua resistenza a variare il suo stato di moto, cioè a modificare la sua velocità in modulo, direzione o verso.
Ricordando le che il prodotto tra uno scalare e un vettore, mantiene la direzione del vettore, e che la massa è sempre positiva, la forza avrà la stessa direzione e verso dell’accelerazione.
Definita la quantità di moto come:
\[\vec p = m\vec v\]allora un’altra formulazione più generale della seconda legge di Newton
\[\vec F = \frac {d\vec p}{dt}\]L’azione di una forza determina la variazione nel tempo della quantità di moto, ovvero di qualcuna o di tutte queste quantità: massa del corpo, direzione, verso, modulo della velocità.
Impulso
Assumendo la massa costante dalla definizione di quantità di moto:
\[\vec F = \frac {d\vec p}{dt} = m\frac {d\vec v }{dt}\]Si definisce l’impulso come:
\[\vec P = \int_{t_0}^{t} \vec F(t)dt = m\int _{v_0}^v dv = p - p_0\]Questa formulazione (forma integrale della seconda legge di Newton) ci dice qual’è l’effetto complessivo della forza in un tempo finito.
Solitamente la forza è in funzione del tempo, quindi non possiamo integrarla, ma applicando il teorema della media integrale possiamo calcolare il valore medio della forza:
\[\vec F_m = \frac {\Delta \vec p}{t-t_0}\]Quando $\vec F$ è nulla anche $\Delta \vec p = 0$ perciò $\vec p = cost$ e vale il principio di conservazione del moto:
- in assenza di forze applicate la quantità di moto di un punto materiale rimane costante, ovvero si conserva
Unità di misura della quantità di moto e impulso è newton per secondo:
\[\bigg[kg \frac m s\bigg] = \bigg[\bigg(kg \frac m {s^2}\bigg)s\bigg] = \big[ N \cdot s\big]\]Terza legge di Newton (principio di azione e reazione)
- se un corpo A esercita su un corpo B una forza $\vec F_{A\rightarrow B}$, allora il corpo B eserciterà una forza $\vec F_{B\rightarrow A}$ su A
- le due forze hanno stessa direzione, stesso modulo e hanno verso opposto \(\vec F_{A\rightarrow B} = - \vec F_{B\rightarrow A}\)
- le due forze hanno la stessa retta d’azione
Forza d’attrito radente
Forza d’attrito statico
Sperimentalmente si osserva che quando si applica ad un corpo appoggiato su di un piano orizzontale una forza parallela al piano, il corpo rimane fermo fino a che la forza non supera in modulo un certo valore:
\(F < \mu_sN\) Definiamo $\mu_s$ come coefficiente di attrito statico (adimensionale) che è dovuto alle forze di coesione tra il corpo e il piano in particolare:
\[\begin{cases} quiete && F \le \mu_s N \\ moto && F > \mu_s N \\ \end{cases}\]Quando in quiete la risultante delle forze deve essere nulla:
\[\vec R + \vec F + \vec P = 0\]- $\vec R$ reazione vincolare del piano con $\vec N$ sua componente verticale $N = mg$ e $\vec F_{as}$ sua componente orizzontale $F_{as} = F$
- $\vec P$ forza peso del corpo
Quindi il valore della forza di attrito statico non ha un valore prefissato, ma varia con il variare della forza $\vec F$ applicata, fino a che quest’ultima non supera in modulo $\mu_s N$.
Forza d’attrito dinamico
Dal momento in cui la forza $\vec F$ supera $\mu_s N$ in modulo allora si osserva che si oppone al moto un’altra forza, detta forza di attrito radente dinamico:
\[F_{ad} = \mu_d N\]dove $\mu_d$ è detto coefficiente di attrito dinamico e risulta sempre che
\[\mu_d < \mu_s\]La risultante delle forze ortogonali al piano è nulla, quindi possiamo dedurre che la forza d’attrito dinamico ha stessa direzione e verso contrario al versore della velocità $\hat u_v$:
\[\vec F_{ad} = - \mu_d N \hat u_v\]In natura eliminare l’attrito per due materiali in contatto è impossibile, per quanto si possa comunque ridurre. Quindi per mantere un corpo in un moto rettilineo uniforme bisogna applicare una forza eguale e contraria alla forza d’attrito.
Tensione e Carrucola
Fune inestensibile
Si prenda una fune inestensibile e di massa trascurabile (fune ideale). Questa fune quando tesa esercita una tensione.
a) Fune tesa in stato di quiete
Si consideri una fune tesa in equilibrio statico e analizziamo un elemento infinitesimo $ds$ della fune.
Le estremità vengono tirate dalle pareti restanti del filo e le forze saranno uguali e contrarie perché siamo in uno stato di equilibrio. Questo vale per qualsiasi pezzettino della fune e il valore della tensione sarà lo stesso in ogni parte del filo, altrimenti la fune non sarebbe in equilibrio statico.
b) Fune tesa in movimento
Si consideri ora una funa in cui le estremità sono collegate a due punti materiali a e b che esercitano due forze $\vec F_a$ e $\vec F_b$ con stessa direzione, verso opposto e di modulo $F_a > F_b$.
Allora avendo assunto che la fune è inestensibile ogni suo elemento si muoverà con la stessa accelerazione, e analogamente anche i due punti materiali a e b avranno la stessa accelerazione.
Quindi se applichiamo la seconda legge di Newton otteniamo che:
\[T_a - T_b = m_f\cdot a\]Ma l’ipotesi che $m_f$ sia trascurabile fa sì che $m_f\cdot a=0$ quindi le due forze agenti su ogni elemento della funa sono uguali e contrarie.
Carrucole
Non è necessario che la fune sia completamente rettilinea, la fune può scorrere attorno ad un perno, carrucola allo scopo di cambiare la direzione della forza.
Si vede facilmente che le tensioni del filo andranno a bilanciare la reazione vincolare del perno. (todo disegno)
Forza elastica
Si definisce forza elastica una forza con direzione costante, con verso sempre rivolta a una posizione di equilibrio, e con modulo proporzionale alla distanza dal’equilibrio.
Se assumiamo come asse $x$ la direzione della forza allora possiamo scrivere la legge di Hooke:
\[\vec F_{el} = -k\,x\,\hat u_x\]In cui $k>0$ è la costante elsastica $\big[\frac N m\big]$ e il segno negativo indica che la forza è di richiamo (cioè diretta verso l’equilibrio).
Molla
Consideriamo una molla attaccata ad un muro, la molla è orizzontale al piano su cui è adagiata, non ci sono attriti e all’estremità della molla è presente una massa puntiforme $m$, il sistema è a riposo.
Fissiamo l’origine nel punto in cui la massa si trova a riposo. Ora allunghiamo la molla di una certa lunghezza $x$ per poi rilasciarla, si osserverà che la massa inizierà a oscillare periodicamente attorno all’origine:
- passa per la posizione di equilibrio
- raggiunge la posizione opposta $-x$
- torna indietro ripetendo ciclicamente il moto
Questa periodicità suggerisce che il moto possa essere descritto da una funzione sinusoidale.
Sapendo che la forza elastica e definita come (Hook’s law):
\[\vec F = - kx\]E applicando la seconda legge della dinamica
\[\vec F = m\vec a = m\frac {d^2x}{dt}\]Eguagliando si ottiene
\[\frac {d^2x}{dt} = - \frac km x\]Notiamo che ponendo $\sqrt{\frac k m} = \omega$ otteniamo la legge del moto arominico
\[\frac {d^2x}{dt} + \omega^2 x = 0\]I valori dell’ampiezza $A$ e la fase iniziale $\phi$ si calcolando dalle condizioni iniziali:
\[x_0 = A\sin(\phi) \quad \quad 0 = \omega A \cos(\phi)\]- todo condizioni iniziali con $v_0\ne0$
Piano inclinato
Pendolo
Descrizione
Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale appeso tramite filo ideale. Filo ideale significa che è inestensibile e non ha massa.
Le forze che entrano in gioco nel pendolo semplice sono la forza peso $\vec F_p = m\cdot \vec g$ e la tensione del filo $\vec T$.
Un ottimo sistema di riferimento per questa situazione è quello di utilizzare l’asse concorde con il filo asse normale alla traiettoria e l’asse tangenziale alla traiettoria.
In questo modo possiamo scomporre le forze negli assi:
\[\begin{cases} \vec R_N = \vec F_{PN} + \vec T = m\vec g \cdot \cos (\theta) + \vec T \\ \vec R_T = \vec F_{PT} = m\vec g \cdot \sin (\theta) \\ \end{cases}\]Asse tangenziale
Secondo la seconda legge della dinamica nell’asse tangenziale si ottiene:
\[-m g \cdot \sin (\theta) = ma_T\]l’accelerazione:
\[a_T = \frac{dv}{dt}\]con
\[v = \omega R\] \[a_T = \frac{dv}{dt} = l \frac{d\omega}{dt} = lm\frac{d^2\theta}{dt}\]quindi si ottiene:
\[-\cancel mg\sin(\theta) = \cancel ml\frac{d^2 \theta}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2\theta}{dt} + \frac l g \sin(\theta) = 0\]A questo punto la risoluzione di questa equazione differenziale risulta difficile, ma se consideriamo piccole oscillazioni ($< 10° \sim 0.17\;rad$) e ricordando che per lo sviluppo di Taylor
\[\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} - \cdots\]possiamo approssimare $\sin \theta$ a $\theta$ con un errore dello $0.5\%$.
\[err = \bigg|\frac{\theta^3/3!}{\theta}\bigg|\cdot 100 = 0.5 \%\]Quindi otteniamo l’equazione differenziale del moto armonico:
\[\frac{d^2\theta}{dt} + \frac l g \theta = 0\] \[\theta(t) = \theta_i \sin\bigg(\sqrt{\frac{l}{g}}t + \phi\bigg)\] \[s(t) = l \theta_i \sin\bigg(\sqrt{\frac{l}{g}}t + \phi\bigg)\]Asse normale
Applicando la seconda legge sull’asse normale invece si ottiene:
\[R_N = T - mg\cos(\theta) = ma_N\] \[a_N = \frac{v^2}l = \omega^2 l\] \[T = m (g\cos(\theta) + \omega^2 l)\]Quindi la tensione del filo sarà massima con $\theta = 0$ e sarà minima nel punto più alto dell’oscillazione.
Domande
1) Si enunci e si commenti la seconda legge della dinamica. Unità di misura? Sono grandezze scalari o vettoriali?
Guarda la seconda legge di Newton.
2) Un proiettile sta procedendo parallelamente al suolo, la sua quota è invariata e la sua velocità diminuisce; si commenti la situazione con la 2° legge della dinamica
Se il proiettile sta proseguendo parallelamente al suolo, mantenendo quota costande, ma con velocità in diminuzione, significa che il corpo ha un’accelerazione opposta al vettore velocità.
Per la seconda legge della dinamica:
\[\vec R = m\vec a=m\frac {d\vec v}{dt}\]Questo significa che la risultante delle forze agenti sul corpo ha la stessa direzione del moto ma con verso opposto e modulo proporzionale alla decelerazione.
Poiché il proiettile non perde quota, la forza peso $m\vec g$ deve essere bilanciata da un’altra forza con componente verticale uguale e contraria.
3) Le forze di attrito sono sempre..?
Come specificato qui, le forze d’attrito sono sempre opposte al moto.
4)) Appendiamo un corpo al soffitto con una molla. Cosa succede?
Quando una molla è fissata al soffitto e vi appendiamo una massa $m$, la situazione è simile al caso orizzontale, ma la posizione di equilibrio è diversa perché è presente anche la forza peso:
\[mg = kx_0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = \frac {mg}k\]Quindi la nuova posizione di equilibrio si troverà più in basso rispetto alla lunghezza della molla a riposo senza massa o posizionata orizzontalmente.
Valutiamo due casi:
a) Rilascio il corpo esattamente nella posizione di equilibrio
Il sistema rimane a riposo, in particolare abbiamo che secondo la seconda legge della dinamica:
\[\vec R = m\vec a = \vec 0\]con
\[\vec R = \vec P + \vec F_{el} = \vec 0 \quad \Rightarrow \quad mg = kx_0\]b) Rilascio il corpo non dalla posizione di equilibrio
Rilasciando il corpo in una posizione diversa da $x_0$ la risultante delle forze richiamerà il corpo verso $x_0$ risultando così in un moto armonico semplice.
Poniamo l’origine su $x_0$ e $\Delta x$ il discostamento dall’equilibrio, sappiamo che il moto rispetta la legge del moto armonico semplice:
\[x(t) = A\sin(\omega t + \phi)\] \[\begin {cases} x(0) = \Delta x = A \sin(\phi) \\ v_0 = 0 = \omega A\cos(\phi) \\ \end{cases} \Rightarrow \begin {cases} A = \Delta x && \phi = \frac \pi 2 \\ A = -\Delta x && \phi = \frac {3\pi} 2 \\ \end{cases}\]5) Cos’è la statica? hint Su un corpo possono agire più forze
Secondo la prima legge della dinamica (principio di inerzia), un corpo:
- rimane in moto rettilineo uniforme o
- in rimane in quiete ($v = 0$)
finché la risultante delle forze esterne che agiscono su di esso è nulla.
Un corpo è in equilibrio statico quando la sommatoria delle forze agenti su di esso si bilanciano esattamente, quindi la risultante è nulla:
\[\sum_i \vec F_i = \vec 0 \rightarrow \begin{cases} F_x = \sum_i F_{i,x} = 0 \\ F_y = \sum_i F_{i,y} = 0 \\ F_z = \sum_i F_{i,z} = 0 \\ \end{cases}\]Perciò avendo la forza nulla, per il secondo principio della dinamica:
\[\vec a = \frac {\vec F_{tot}}m = \vec 0\]il corpo rimane fermo, o non cambia di velocità.
6) Parli dell’attrito statico
Vedi attrito statico.
7) Reazioni vincolari, nel modo più generico che conosci
Come dice il termine le reazioni vincolari dipendono da un vincolo. In accordo con il principio di azione e reazione quando un corpo esercita una forza su un vincolo questo vincolo eserciterà sul corpo una forza uguale e contraria.
In generale la reazione vincolare non si può conoscere a priori, ma va analizzata caso per caso andando a valutare il sistema fisico e il moto del corpo.
Le reazioni vincolari possono bilanciare le forze agenti sul corpo in un sistema in equilibrio, oppure vincolare la traiettoria del corpo.
8) Sensazione del peso: entriamo in un ascensore con una bilancia e saliamo, cosa succede?
Le forze in gioco sono:
- la rezione vincolare $\vec N$ (verso l’alto)
- la forza peso $\vec P = m\vec g$ (verso il basso)
Applicando la seconda legge della dinamica lungo la direzione verticale (positiva verso l’alto):
\[\vec N + m\vec g = m\vec a \quad \Rightarrow \quad N - mg = ma \quad \Rightarrow \quad N = m (a + g) > mg\]Quindi durante l’accelerazione la bilancia segna un valore maggiore rispetto alla situazione di quiete, poiché misura la forza che il corpo esercita su di essa:
\[m_{indicato} =\frac {F_{misurato}} g\]Quando $N \ne mg$ a causa di un’accelerazione, la bilancia interpreterà questa forza come se fosse dovuta a una massa apparentemente maggiore.
9) Domanda di prima ma su un vagone di un treno in viaggio
Le forze in gioco sono:
- sull’asse verticale la forza peso $\vec P = m\vec g$ (verso il basso) e la reazione vincolare $\vec N$ esercitata dalla bilancia (verso l’alto)
- sull’asse orizzontale se il treno accelera allora comparirà la forza d’attrito statico nella direzione del moto che impedisce alla persona di scivolare all’indietro
Assumendo appunto che la persona non scivoli (quindi $\mu_s N > ma$) possiamo dire che la risultante delle forze orizzontali è nulla rispetto al sistema solidale con il vagone.
Sull’asse verticale, se i binari sono perfettamente orizzontali (non ci sono accelerazioni nella verticale) otteniamo:
\[N - mg = 0 \quad \Rightarrow \quad N = mg\]Quindi in questo caso la bilancia misura correttamente il peso reale e la massa indicata è la stessa che viene misurata quando il treno è fermo.
10) Funi inestensibili.
Vedi tensione fili
11) Appendiamo una molla al soffitto con a un estremo un corpo di massa m.
Vedi qui.
12) Forza di attrito statico.
Vedi forza d’attrito statico.
13) Cos’è la quantità di moto?
La quantità di moto è definità come:
\[\vec p = m \vec v\]La quantità di moto è una grandezza vettoriale quindi ha le sue componenti sugli assi:
\[\begin{cases} p_x = m v_x \\ p_y = m v_y \\ p_z = m v_z \\ \end{cases}\]Possiamo riscrivere la seconda legge di Newton in maniera più generale considerando anche i casi in cui la massa non è costante come:
\[\vec F = \frac {d\vec p}{dt}\]Nei sistemi isolati, cioè nei sistemi in cui le forze esterne sono nulle o la loro risultante è nulla allora la quantità di moto interna al sistema si conserva.
ESEMPIO
Se lanciamo una mela e poi la riprendiamo, considerando il sistema mela, notiamo che la quantità di moto non si conserva:
- $p_i = m_{mela} \cdot 0 = 0$
- $p_{up} = m_{mela}\cdot v_{up} \ne 0$
- $p_{down} = m_{mela}\cdot v_{down} \ne 0$ e inoltre essendo $v_{up} = -v_{down}$ abbiamo che $p_{up} \ne p_{down}$
In realtà la quantità di moto del sistema mela cambia in continuazione, poiché sappiamo che la velocità di lancio diminuisce fino ad invertire segno ed aumentare in modulo fino a che non la riprendiamo in mano.
La quantità di moto non si conserva perché il sistema mela non è isolato, su di esso viene esercitata la forza di gravità della Terra.
Includiamo la Terra nel sistema: in questo caso la quantità di moto si conserva. Quando lanciamo la mela verso l’alto, la quantità di moto della mela $\vec p_{mela}$ verrà bilanciata esattamente da quella della Terra $\vec p_{\tiny {Terra}}$ in modo che:
\[\vec p_i = \vec 0 = \vec p_{mela} + \vec p_{\tiny {Terra}} \quad \Rightarrow \quad p_{mela} = -p_{\tiny {Terra}}\]Essendo però la massa della Terra enormemente maggiore di quella della mela $m_{Terra} \gg m_{mela}$, la velocità con cui si muove la Terra sarà piccolissima $v_{Terra} = \frac{m_{mela}}{m_{Terra}} v_{mela}$.
14) Ha a disposizione una bilancia, come può misurare il tempo sapendo solo massa e lunghezza. hint moto armonico del pendolo
In realtà per misurare il periodo $T$ del pendolo, non abbiamo bisogno di conoscere la massa.
\[T = \frac {2\pi} \omega\]con
\[\omega = \sqrt {\frac g l}\]Quindi ci basta conoscere la lunghezza del filo per poter calcolare il periodo del pendolo.
15) Quali sono le forze fondamentali della natura?
Le forze fondamentali della natura sono riconducibili all’interazione Gravitazionale, l’interazione Elettromagnetica, a livello nucleare e subnucleare ci sono l’interazione Forte e l’interazione Debole